jueves, 10 de enero de 2013

5.3 Integrales iteradas dobles y triples


Integrales iteradas triples.
Se llama prisma rectangular o intervalo tridimensional al siguiente subconjunto de R3:

R = [a, b] × [c, d] × [e, h] = {(x, y, z) 2 R3: a ≤ x ≤ b, c ≤y ≤ d, e ≤z ≤h}

Donde a < b, c < d, e < h son números reales fijos.
Sean: D1 _ [a, b] × [c, d] 7! [e, h] dos funciones continuas tales que ≤(x, y) ≤ (x, y) para todo (x, y) 2 D1, donde D1 es un dominio simple (respecto de x o respecto de y) en el rectángulo
[a, b] × [c, d] del plano x, y.
Hágase un dibujo en el espacio, con tres ejes coordenadas x, y, z: el dominio D1 está en el plano “horizontal” z = 0 y proyectándose sobre ´el, en el espacio, están las gráficas de las funciones
≤(x, y) y  (x, y).
Consideremos el dominio D (tridimensional) contenido en el prisma rectangular R = [a, b] ×[c, d] × [e, h] definido como:
D = {(x, y) 2 D1, ≤(x, y) ≤ z  ≤ (x, y)} (1)
En el dibujo realizado antes D es el sólido comprendido entre las gráficas de las funciones  ≤ y , que se proyecta verticalmente sobre el dominio plano D1 del plano x, y.
Para cada (x, y) fijos en el dominio plano D1, el segmento (bastón ) vertical _(x, y) ≤ z  ≤ (x, y) está contenido en el sólido D. Al mover el punto (x, y) 2 D1, este bastón vertical “barre” el sólido D.
Definición
 El dominio D que cumple (1) se llama dominio (tridimensional) simple
Respecto de x, y, si su proyección D1 sobre el plano z = 0 es simple respecto de x; y se llama
Dominio (tridimensional) simple respecto de y, x si su proyección D1 sobre el plano z = 0 es
Simple respecto de y.
El análisis del solido D a continuación debe seguirse con figuras tridimensionales, como la
Explicada antes de la definición 3.1.1:
Consideremos primero el dominio (bidimensional) simple D1, simple respecto de x. Entonces,
Por la definición 3.1.1, el dominio D (tridimensional) definido en (1) es simple respecto a x, y
Adquiere la forma siguiente:
D = {a _ x _ b, _(x) _ y _ μ(x), _(x, y) _ z _  (x, y)} (1b)
Se puede mirar a D de la forma que describimos más abajo, en vez de verlo como generado por

Bastones verticales para cada (x, y) fijo en D1, que recorren D cuando (x, y) se mueve en D1. Para
Cada x = x0 2 [a, b] fijo, la intersección del solido D con el plano vertical x = x0 (este plano es
Perpendicular al eje de las x) es un dominio plano, “tajada o feta” del solido D al cortarlo con un
Plano vertical, que tiene por ecuación:
D \ {x = x0} = {(y, z) : _(x0) _ y _ μ(x0), _(x0, y) _ z _  (x0, y)} (1c).


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